Faits mathématiques

Fait mathématique #1

 

Il existe une infinité de nombres premiers.

 

Par Érik Pronovost*

 

Un entier p > 1 est appelé un nombre premier (ou tout simplement un premier) si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Un entier plus grand que 1 qui n'est pas premier est dit composé.

 

Voici la liste de tous les nombres premiers p < 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

 

Le 15 décembre 2004, les professeurs Curtis Cooper et Steven Boone du Central Missouri State University ont démontré que 230 402 457–1 est un nombre premier. Ce nombre possède 9 152 052 chiffres décimaux.

 

Les nombres premiers sont des objets mathématiques fascinants. De nombreux mathématiciens ont étudié ces nombres, mais il reste encore de nombreux problèmes non résolus. Nous en énoncerons d'ailleurs quelques-uns. De plus, les nombres premiers ont des applications très concrètes dans notre société. En effet, ils sont utilisés dans le domaine de la cryptographie, lequel est crucial pour la protection d'information. D'ailleurs, les informations secrètes de la défense nationale, les transactions bancaires et les achats sur internet sont protégés par des procédés qui font intervenir les nombres premiers.

 

On peut se demander maintenant s'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire s'il existe des nombres premiers aussi grands que l'on veut. Euclide a répondu par l'affirmative, il y a de cela plus de 2000 ans. Comment démontrer un tel résultat? Il est impossible de construire une infinité de nombres premiers car cela prendrait une infinité de temps. On va donc prouver ce résultat par contradiction. Pour ce faire, nous allons supposer qu'il existe un nombre fini de nombres premiers. Par la suite, on va montrer que cette supposition va impliquer une contradiction, c'est-à-dire quelque chose d'impossible. Ceci impliquera qu'une telle supposition ne peut pas exister, donc qu'on ne peut pas avoir un nombre fini de nombres premiers. On pourra donc conclure qu'il existe une infinité de nombres premiers. Voici en détails le résultat:

 

Théorème. Il existe une infinité de nombres premiers.

 

Démonstration. Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe un nombre fini de nombres premiers, disons p1,p2,…,pk. On a donc que pk est le plus grand des nombres premiers. Alors, construisons le nombre A en multipliant tous les nombres premiers ensemble et en ajoutant 1, c'est-à-dire considérons le nombre

 

A = p1p2pk+1

 

On a que A est strictement plus grand que pk. Ainsi, A n'est pas un nombre premier car pk est le plus grand des nombres premiers. A doit donc être un nombre composé. Il est donc divisible par un nombre premier, c'est-à-dire par un nombre pi où 1<i<k. Ceci implique qu'il existe un entier q tel que A=piq. On a donc que

 

A = p1p2pi–1 pi pi+1pk+1 = piq

 

En soustrayant par p1p2pi–1 pi pi+1pk les deux côtés de l'égalité précédente, on obtient que

 

p1p2pi–1 pi pi+1pk+1–p1p2pi–1 pi pi+1pk = piqp1p2pi–1 pi pi+1pk

 

ce qui implique que

 

1 = piqp1p2pi–1 pi pi+1pk

 

On peut donc factoriser le membre de droite de l'égalité par pi pour obtenir que

 

1 = pi(qp1p1pi–1pi+1pi+2pk)

 

On obtient alors que pi divise 1. Ceci est impossible car 1 ne se divise que par 1. Ainsi, supposer qu'il existe seulement un nombre fini de nombres premiers nous amène à une contradiction. On peut donc conclure qu'il existe une infinité de nombres premiers.

 

Terminons cette capsule en donnant quelques faits et citations cocasses sur les nombres premiers.

  • Une mnémonique est une devise mentale utilisée pour aider à la mémorisation. G. L. Honaker Jr. a créé une mnémonique en anglais très amusante. En comptant le nombre de lettres dans chaque mot, on obtient la liste des sept premiers nombres premiers. Voici cette mnémonique: "In the early morning, astronomers spiritualized nonmathematicians".
  • Dans le roman The curious Incident of the Dog in the Night-Time (Haddon 2003), le protagoniste Christopher numérote des chapitres en utilisant des nombres premiers au lieu des traditionnels entiers positifs.
  • Dans l'épisode Le génie (Prime Suspect) (2005) de la saison 1 de la série télévisée La loi des nombres (Nomb3rs), le génie des mathématiques Charlie Eppes réalise que la fille du personnage d'Ethan a été enlevée car elle était sur le point de trouver une méthode pour briser la sécurité sur internet en factorisant des grands nombres en facteurs premiers.


* Érik Pronovost est étudiant au doctorat en mathématiques à l'Université Laval.

Fait mathématique #2

 

Les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers dont la différence est 2 (par exemple, 3 et 5 ou 11 et 13). À l'heure actuelle, on ne sait toujours pas s'il en existe une infinité.

 

Par Érik Pronovost

 

Exemple: Voici la liste de tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à 200 :

 

(3,5) , (5,7) , (11,13) , (17,19) , (29,31)
(41,43) , (59,61) , (71,73) , (101,103)
(107,109) , (137,139) , (149,151)
(179,181) , (191,193) , (197,199)

 

Exemple Le 9 août 2005, on a démontré que 16 869 987 339 975 × 21 711 960 – 1 et 16 869 987 339 975 × 21 711 960 + 1 sont des nombres premiers jumeaux.

 

On peut aussi se demander s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Actuellement, la réponse à cette question n'est pas encore connue, bien que l'on croit qu'elle soit affirmative. Ceci va donner naissance à une conjecture, c'est-à-dire un résultat que l'on croit vrai. Voici cette conjecture :

 

Conjecture (Conjecture des nombres premiers jumeaux) Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.


En 1982, une compagnie d'informatique (Worldwide Computer Services Inc.) offrait un prix de 25 000$ à la personne qui publierait la première preuve de la conjecture des nombres premiers jumeaux; l'offre expirait le 31 mars 1985. Personne n'a gagné le prix.

 

Notons que pour tout nombre naturel n, on désigne par n la quantité 1 × 2 × 3 × ... × n. Ainsi, 2! = 1 × 2 = 2 et 3! = 1 × 2 × 3 = 6.

 

Les nombres premiers jumeaux ont été caractérisés par Clément en 1949 de la façon suivante:

 

Théorème Soit n ? 2. Les entiers n et n + 2 sont tous les deux premiers si et seulement si n(n + 2) divise 4((n – 1)! + 1) + n.

 

Exemple Si on choisit n = 3, il est clair que n et n + 2 sont tous deux premiers. De même, on a aussi que n(n + 2) = 3(3 + 2) = 3 × 5 = 15 divise 4((n – 1)! + 1) + n = 4((3 – 1)! + 1) + 3 = 4(2! + 1) + 3 = 4(2 + 1) + 3 = 4 × 3 + 3 = 12 + 3 = 15.

 

Exemple Si on choisit n = 4, alors n + 2 = 6 n'est pas premier. Et effectivement, n(n + 2) = 4(4 + 2) = 4 × 6 = 24 ne divise pas 4((n – 1)! + 1) + n = 4((4 – 1)! + 1) + 4 = 4(3! + 1) + 4 = 4(6 + 1) + 4 = 4 × 7 + 4 = 28 + 4 = 32. Ce dernier théorème n'a cependant aucun intérêt pratique pour la détermination de nombres premiers jumeaux. Pour tout x > 1, définissons la fonction ?2(x) comme étant le nombre de nombres premiers p ? × – 2 tels que p + 2 est aussi premier (à ne pas confondre avec le nombre ? = 3,141 592...).

 

Exemple ?2(5) = 1, car il existe une seule paire de nombres premiers jumeaux inférieurs ou égaux à 5, soit la paire (3,5).

 

Exemple En 1976, Brent a démontré que ?2(1016) = 224 376 048. Par la suite, T. Nicely a obtenu que ?2(1014) = 135 780 321 665. Aujourd'hui, on sait même que ?2(1016) = 10 304 195 697 298. En 1919, Viggo Brun a démontré qu'il existe un entier x0, calculable, tel que si x ? x0, alors
Viggo Brun


La démonstration a été publiée en 1920.

 

Euler a démontré en 1737 le résultat suivant :


Théorème (Euler, 1737) La série
Série
diverge, c'est-à-dire que si on prend un nombre aussi grand que l'on veut, alors la somme ci-dessus va éventuellement le dépasser.

 

On peut se demander ce qu'il en est de la somme des inverses des nombres premiers jumeaux. Dans un autre article publié en 1919, Brun répond à cette question :

 

Théorème (Brun, 1919) La somme
Somme

est convergente, c'est-à-dire qu'il existe un certain nombre, appelons-le B, tel que l'on peut se rapprocher aussi près que l'on veut en additionnant l'inverse des nombres premiers jumeaux. Ce dernier théorème exprime que même s'il existait une infinité de nombres premiers jumeaux, la distance entre les paires de nombres premiers jumeaux devient aussi grande que l'on veut.

Fait mathématique #3

Un mathématicien a découvert un bogue dans le microprocesseur Pentium I en 1994,forçant la compagnie Intel à remplacer tous ses processeurs vendus.

 

Par Érik Pronovost

 

Le 30 octobre 1994, le professeur Thomas Nicely de l'université de Lynchburg découvre un bogue dans l'unité de calcul en virgule flottante du Pentium. Le processus qui a permis la découverte du bogue a aussi permis d'obtenir une bonne approximation de la constante de Brun. Nicely s'était rendu compte que certaines opérations renvoyaient toujours une valeur erronée par excès. Ces erreurs dans les divisions furent rapidement confirmées par d'autres personnes; ce bogue devint très vite notoire et fut surnommé le "bogue FDIV du Pentium" (FDIV est l'instruction de division en virgule flottante des micropresseurs x86). Ces constatations ont alimenté une vive polémique. Et Intel nia dans un premier temps le problème existant. Bien que des évaluations effectuées par des organismes indépendants montrèrent le peu d'importance des conséquences du bogue et que l'effet était négligeable dans la plupart des utilisations, cela provoqua une grande colère publique. Finalement, Intel fut forcée d'accepter de remplacer tous les processeurs Pentium défectueux.

Fait mathématique #4

 

Les lecteurs MP3 utilisent des transformées de Fourier pour restituer les morceaux musicaux qu'ils contiennent.

 

Ce sujet est abordé dans le spectacle Show Math.

 

Par Érik Pronovost

 

La compression de données traite de la manière dont on peut réduire l'espace nécessaire à la représentation d'une certaine quantité d'information. Elle a donc sa place aussi bien lors de la transmission que lors du stockage des données.

 

Premièrement, il faut savoir que le son est une onde. La fréquence d'un son est exprimée en Hertz (Hz), elle est directement liée à la hauteur d'un son perçu, mais n'en est qu'une des composantes. À une fréquence faible correspond un son grave, à une fréquence élevée un son aigu.

 

Le son émis par un diapason en vibration est (quasiment) pur. Sa représentation est un beau sinus simple et régulier.

 

Sinus

 

Une fonction sinus est une donnée qui demande très peu d'espace d'emmagasinage. Ainsi, si on veut enregistrer le son du diapason en vibration, on a qu'à rentrer la fonction sinus correspondante dans nos données et ceci prendra très peu d'espace.

 

Si on ajoute un son harmonique (en pointillé sur le schéma ci-dessous) à ce son simple (également en pointillé), les deux se superposent pour donner un résultat global représenté par la courbe suivante (en noir gras).

 

Sinus

 

L'onde obtenue est plus compliquée que celle du diapason en vibration, mais puisqu'on peut l'exprimer comme la somme de deux simples sinus, on a qu'à rentrer les deux fonctions sinus correspondantes dans nos données et ceci prendra encore très peu d'espace.

 

Le diapason est un instrument qui donne un son fixe servant de référence au La placé dans le deuxième interligne de la portée en clé de Sol deuxième ligne. Sa fréquence est de 440 Hz (440 vibrations par seconde). Il s'agit du même son que le La du téléphone en France.

 

Cependant, la plupart des sons que l'on entend en écoutant de la musique sont beaucoup plus complexes.

 

Sinus

 

C'est là que vont intervenir les transformées de Fourier. En effet, les transformées de Fourier permettent d'exprimer de telles ondes en sommes de simples sinus et cosinus. On pourra donc rentrer ces fonctions sinus et cosinus dans nos données pour enregistrer notre son.

 

De plus, tout être vivant ne peut percevoir qu'une partie du spectre sonore. En effet, les physiologistes s'accordent à dire que l'oreille humaine moyenne perçoit seulement les sons dans une certaine plage de fréquences située environ (selon l'âge, la culture, etc...), entre 20 Hz (au-deçà les sons sont qualifiés d'infrasons) et 20 kHz (au-delà les sons sont qualifiés d'ultrasons). Aussi, si l'intensité du son n'est pas suffisante, l'oreille humaine ne percevra pas le son. De plus, si l'intensité du son est trop grande, le son risque fortement d'endommager l'oreille humaine. Voici un graphique qui illustre bien cette situation.

 

Intensité

 

Ainsi, on pourra éliminer de nos données toutes les fonctions sinus et cosinus qui ne sont pas perceptibles par l'oreille humaine. On sauvera alors beaucoup d'espace et l'oreille humaine n'y verra aucune différence. Ce ne sera pas le cas cependant pour l'oreille de d'autres espèces animales. En effet, la chauve-souris et le dauphin peuvent percevoir les sons de fréquence 100 kHz. Ainsi, lorsqu'un dauphin écoute de la musique compressée en MP3, il n'entend pas la même chose que la version originale contrairement à l'humain. Voici un graphique qui représente la fréquence en hertz du cri de la chauve-souris par rapport au temps.

 

Cri de la chauve-souris

 

On a aussi que certains sons enterrent d'autres sons. Ceci implique donc que les sons enterrés sont inutilement emmagasinés. On peut donc faire une économie supplémentaire d'espace en éliminant ces sons. Voila, grossièrement, les grandes idées qui se cachent derrière l'algorithme de compression MP3. Notons que ces idées reviennent souvent dans d'autres algorithmes de compression. Les transformées de Fourier ont de nombreuses autres applications. En effet, cela a permis à Fourier, en 1807, de résoudre l'équation de propagation de la chaleur. Elles permettent aussi de déterminer le spectre d'un signal. Les transformées de Fourier ont également des applications importantes en astronomie. En effet, elle permet, en faisant interférer des ondes de plusieurs télescopes, de reconstruire une image équivalente à celle obtenue en utilisant un grand télescope très coûteux, voir impossible à construire. On peut ainsi détecter des étoiles doubles qui n'aurait pas pu être détectées autrement :

 

étoiles doubles

 

Les transformées de Fourier ont également des applications importantes en médecine. En effet, elles sont utilisées plus particulièrement en tomographie, c'est-à-dire la reconstruction d'objet à deux dimensions à partir de ses projections. Voici d'ailleurs un exemple de reconstruction d'objet en tomographie :

 

Tomographie

 

Terminons en mentionnant que les transformées de Fourier sont aussi utilisées en résonance magnétique nucléaire. En effet, elle permettent de déduire la densité des atomes cherchés en fonction d'une direction et de reconstituer un objet à partir des ces différentes mesures. Voici un exemple d'image obtenue (d'une précision de l'ordre du millimètre) :

 

Résonance magnétique nucléaire

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  Dernière mise à jour: 18/06/2013